├─cabxabcd There will not be more than one edges going out of any node, starting with same character. The active edge will now be updated. updated. This page provides information about online lectures and lecture slides for use in teaching and learning from the book Algorithms, 4/e.These lectures are appropriate for use by instructors as the basis for a “flipped” class on the subject, or for self-study by individuals. The suffix argument may be null, in which case the suffix ".tmp" will be used. │ └─xabcd It has one root node and two internal nodes and 6 leaf nodes. In extension 3 of phase i+1, we put string S[3..i+1] in the tree. A suffix tree T for a m-character string S is a rooted directed tree with exactly m leaves numbered 1 to m. (Given that last string character is unique in string). └─xabcd In extension 2 of phase i+1, we put string S[2..i+1] in the tree. └─xabcd (, The next suffix of 'abcabxabcd' to add is 'a{b}' at indices, The next character on the current edge is 'b' (suffix added implicitly) ├─b───────(, )┬─cabxabc Root can have zero, one or more children. , LastCreatedNodeInCurrentIteration, ActiveEdge.Tail); The linked node for active node {0} is {1}. Get hold of all the important DSA concepts with the DSA Self Paced Course at a student-friendly price and become industry ready. └─xabcd Adding new edge to node #, )┬─abxabcd └─xa, )┬─cabxab │ └─xabcd A suffix tree is a compressed trie for all the suffixes of a text. High Level Description of Ukkonen’s algorithm )┬─cabx While generating suffix tree using Ukkonen’s algorithm, we will see implicit suffix tree in intermediate steps few times depending on characters in string S. In implicit suffix trees, there will be no edge with $ (or # or any other termination character) label and no internal node with only one edge going out of it. For String S = xabxa, with m = 5, following is the suffix tree: └─cabx Adding new edge to node #, starting with 'a' found. Ukkonen’s algorithm is divided into m phases (one phase for each character in the string with length m) │ └─xabc └─cabx Following is the suffix tree for string S = xabxa$ with m = 6 and now all 6 suffixes end at leaf. SuffixTree.Create("abcdefabxybcdmnabcdex"); The next suffix of '{0}' to add is '{1}' at indices {2},{3}. Find the longest path from the root which matches a prefix of S[i+1..m]$. If it is in the middle of an edge (u, v), break the edge (u, v) into two edges by inserting a new node w just after the last character on the edge that matched a character in S[i+l..m] and just before the first character on the edge that mismatched. 在 1995 年，Esko Ukkonen 发表了论文《On-line construction of suffix trees》，描述了在线性时间内构建后缀树的方法。 下面尝试描述 Ukkonen 算法的基本实现原理，从简单的字符串开始描述，然后扩展到更复杂的情形。. The next suffix of 'abcabxabcd' to add is '{x}' at indices, starting with 'x' not found Each internal node, other than the root, has at least two children. A tree like above (Figure 2) is called implicit suffix tree as some suffixes (‘xa’ and ‘a’) are not seen explicitly in tree. Time taken is O(m). Suffix Tree is very useful in numerous string processing and computational biology problems. │ └─xabcd 比如，对于文本 "banana\0"，其中 "\0" 作为文本结束符号。下面是该文本所对应的所有后缀。, 现在我们先熟悉两个概念：显式后缀树（Explicit Suffix Tree）和隐式后缀树（Implicit Suffix Tree）。, 我们发现，后缀 "xa" 和 "a" 已经分别包含在后缀 "xabxa" 和 "abxa" 的前缀中，这样构造出来的后缀树称为隐式后缀树（Implicit Suffix Tree）。, 而如果不希望这样的情形发生，可以在每个后缀的结尾加上一个特殊字符，比如 "$" 或 "#" 等，这样我们就可以使得后缀保持唯一性。, 在 1995 年，Esko Ukkonen 发表了论文《On-line construction of suffix trees》，描述了在线性时间内构建后缀树的方法。下面尝试描述 Ukkonen 算法的基本实现原理，从简单的字符串开始描述，然后扩展到更复杂的情形。, Suffix Tree 与 Trie 的不同在于，边（Edge）不再只代表单个字符，而是通过一对整数 [from, to] 来表示。其中 from 和 to 所指向的是 Text 中的位置，这样每个边可以表示任意的长度，而且仅需两个指针，耗费 O(1) 的空间。, 首先，我们从一个最简单的字符串 Text = "abc" 开始实践构建后缀树，"abc" 中没有重复字符，使得构建过程更简单些。构建过程的步骤是：从左到右，对逐个字符进行操作。, 第 1 个字符是 "a"，创建一条边从根节点（root）到叶节点，以 [0, #] 作为标签代表其在 Text 中的位置从 0 开始。使用 "#" 表示末尾，可以认为 "#" 在 "a" 的右侧，位置从 0 开始，则当前位置 "#" 在 1 位。, 第 1 个字符 "a" 处理完毕，开始处理第 2 个字符 "b"。涉及的操作包括：, 接着再处理第 3 个字符 "c"，重复同样的操作，"#" 位置向后挪至第 3 位：, 当然，我们进展的这么顺利，完全是因为所操作的字符串 Text = "abc" 太简单，没有任何重复的字符。那么现在我们来处理一个更复杂一些的字符串 Text = "abcabxabcd"。, 同上面的例子类似的是，这个新的 Text 同样以 "abc" 开头，但其后接着 "ab","x","abc","d" 等，并且出现了重复的字符。, 前 3 个字符 "abc" 的操作步骤与上面介绍的相同，所以我们会得到下面这颗树：, 当 "#" 继续向后挪动一位，即第 4 位时，隐含地意味着已有的边会自动的扩展为：, 即 [0, #], [1, #], [2, #] 都进行了自动的扩展。按照上面的逻辑，此时应该为剩余后缀 "a" 创建一条单独的边。但，在做这件事之前，我们先引入两个概念。, 当处理第 4 字符 "a" 时，我们注意到，事实上已经存在一条边 "abca" 的前缀包含了后缀 "a"。在这种情况下：, 此时，我们还观察到：当我们要插入的后缀已经存在于树中时，这颗树实际上根本就没有改变，我们仅修改了 active point 和 remainder。那么，这颗树也就不再能准确地描述当前位置了，不过它却正确地包含了所有的后缀，即使是通过隐式的方式（Implicitly）。因此，处理修改变量，这一步没有其他工作，而修改变量的时间复杂度为 O(1)。, 继续处理下一个字符 "b"，"#" 继续向后挪动一位，即第 5 位时，树被自动的更新为：, 由于剩余后缀数（remainder）的值为 2，所以在当前位置，我们需要插入两个最终后缀 "ab" 和 "b"。这是因为：, 实际操作时，我们就是修改 active point，指向 "a" 后面的位置，并且要插入新的最终后缀 "b"。但是，同样的事情又发生了，"b" 事实上已经存在于树中一条边 "bcab" 的前缀上。那么，操作可以归纳为：, 再具体一点，我们本来准备插入两个最终后缀 "ab" 和 "b"，但因为 "ab" 已经存在于其他的边的前缀中，所以我们只修改了活动点。对于 "b"，我们甚至都没有考虑要插入，为什么呢？因为如果 "ab" 存在于树中，那么他的每个后缀都一定存在于树中。虽然仅仅是隐含性的，但却一定存在，因为我们一直以来就是按照这样的方式来构建这颗树的。, 继续处理下一个字符 "x"，"#" 继续向后挪动一位，即第 6 位时，树被自动的更新为：, 由于剩余后缀数（Remainder）的值为 3，所以在当前位置，我们需要插入 3 个最终后缀 "abx", "bx" 和 "x"。, 活动点告诉了我们之前 "ab" 结束的位置，所以仅需跳过这一位置，插入新的 "x" 后缀。"x" 在树中还不存在，因此我们分裂 "abcabx" 边，插入一个内部节点：, 现在，我们已经处理了 "abx"，并且把 remainder 减为 2。然后继续插入下一个后缀 "bx"，但做这个操作之前需要先更新活动点，这里我们先做下部分总结。, 对于上面对边的分裂和插入新的边的操作，可以总结为 Rule 1，其应用于当 active_node 为 root 节点时。, 因此，新的活动点为 (root, 'b', 1)，表明下一个插入一定会发生在边 "bcabx" 上，在 1 个字符之后，即 "b" 的后面。, 我们需要检查 "x" 是否在 "b" 后面出现，如果出现了，就是我们上面见到过的样子，可以什么都不做，只更新活动点。如果未出现，则需要分裂边并插入新的边。, 同样，这次操作也花费了 O(1) 时间。然后将 remainder 更新为 1，依据 Rule 1 活动点更新为 (root, 'x', 0)。, 继续上面的操作，插入最终后缀 "x"。因为活动点中的 active_length 已经降到 0，所以插入操作将发生在 root 上。由于没有以 "x" 为前缀的边，所以插入一条新的边：, 继续处理下一个字符 "a"，"#" 继续向后挪动一位。发现后缀 "a" 已经存在于数中的边中，所以仅更新 active point 和 remainder。, 继续处理下一个字符 "b"，"#" 继续向后挪动一位。发现后缀 "ab" 和 "b" 都已经存在于树中，所以仅更新 active point 和 remainder。这里我们先称 "ab" 所在的边的节点为 node1。, 继续处理下一个字符 "c"，"#" 继续向后挪动一位。此时由于 remainder = 3，所以需要插入 "abc","bc","c" 三个后缀。"c" 实际上已经存在于 node1 后的边上。, 继续处理下一个字符 "d"，"#" 继续向后挪动一位。此时由于 remainder = 4，所以需要插入 "abcd","bcd","cd","d" 四个后缀。, 上图中的 active_node，当节点准备分裂时，被标记了红色。则归纳出了 Rule 3。, 所以，现在活动点为 (node2, 'c', 1)，其中 node2 为下图中的红色节点：, 由于对 "abcd" 的插入已经完成，所以将 remainder 的值减至 3，并且开始处理下一个剩余后缀 "bcd"。此时需要将边 "cabxabcd" 分裂，然后插入新的边 "d"。根据 Rule 2，我们需要在之前插入的节点与当前插入的节点间创建一条新的后缀连接。, 此时，我们观察到，后缀连接（Suffix Link）让我们能够重置活动点，使得对下一个后缀的插入操作仅需 O(1) 时间。从上图也确认了，"ab" 连接的是其后缀 "b"，而 "abc" 连接的是其后缀 "bc"。, 当前操作还没有完成，因为 remainder 是 2，根绝 Rule 3 我们需要重新设置活动点。因为上图中的红色 active_node 没有后缀连接（Suffix Link），所以活动点被设置为 root，也就是 (root, 'c', 1)。, 因此，下一个插入操作 "cd" 将从 Root 开始，寻找以 "c" 为前缀的边 "cabxabcd"，这也引起又一次分裂：, 由于此处又创建了一个新的内部节点，依据 Rule 2，我们需要建立一条与前一个被创建内节点的后缀连接。, 然后，remainder 减为 1，active_node 为 root，根据 Rule 1 则活动点为 (root, 'd', 0)。也就是说，仅需在根节点上插入一条 "d" 新边。, 假设 active point 是红色节点 (red, 'd', 3)，因此它指向 "def" 边中 "f" 之后的位置。现在假设我们做了必要的更新，而且依据 Rule 3 续接了后缀连接并修改了活动点，新的 active point 是 (green, 'd', 3)。然而从绿色节点出发的 "d" 边是 "de"，这条边只有 2 个字符。为了找到合适的活动点，看起来我们需要添加一个到蓝色节点的边，然后重置活动点为 (blue, 'f', 1)。, 在最坏的情况下，active_length 可以与 remainder 一样大，甚至可以与 n 一样大。而恰巧这种情况可能刚好在找活动点时发生，那么我们不仅需要跳过一个内部节点，可能是多个节点，最坏的情况是 n 个。由于每步里 remainder 是 O(n)，续接了后缀连接之后的对活动点的后续调整也是 O(n)，那么是否意味着整个算法潜在需要 O(n2) 时间呢？, 我认为不是。理由是如果我们确实需要调整活动点（例如，上图中从绿色节点调整到蓝色节点），那么这就引入了一个拥有自己的后缀连接的新节点，而且 active_length 将减少。当我们沿着后缀连接向下走，就要插入剩余的后缀，且只是减少 active_length，使用这种方法可调整的活动点的数量不可能超过任何给定时刻的 active_length。由于 active_length 从来不会超过 remainder，而 remainder 不仅在每个单一步骤里是 O(n)，而且对整个处理过程进行的 remainder 递增的总数也是 O(n)，因此调整活动点的数目也就限制在了 O(n)。, 本文《后缀树》由 Dennis Gao 发表自博客园，未经作者本人同意禁止任何形式的转载，任何自动或人为的爬虫行为均为耍流氓。, 后缀树（Suffix Tree）是一棵 Compressed Trie，其存储的关键词为 Text 所有的后缀。后缀树的性质：存储所有 n(n-1)/2 个后缀需要 O(n) 的空间，n 为的文本（Text）的长度；构建后缀树需要 O(dn) 的时间，d 为字符集的长度（alphabet）；对模式（Pattern）的查询需要 O(dm) 时间，m 为 Pattern 的长度。在 1995 年，Esko Ukkonen 发表了论文《On-line construction of suffix trees》，描述了在线性时间内构建后缀树的方法。本文中尝试描述 Ukkonen 算法的基本实现原理，从简单的字符串开始描述，然后扩展到更复杂的情形。, 此时，我们还观察到：当我们要插入的后缀已经存在于树中时，这颗树实际上根本就没有改变，我们仅修改了, 和 remainder。那么，这颗树也就不再能准确地描述当前位置了，不过它却正确地包含了所有的后缀，即使是通过隐式的方式（Implicitly）。因此，处理修改变量，这一步没有其他工作，而修改变量的时间复杂度为 O(1)。.